드 브로이-봄 이론

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1. 개요

드 브로이-봄 이론은 1920년대 루이 드 브로이에 의해 처음 제안되었으며, 데이비드 봄에 의해 재발견되고 확장되었다. 이 이론은 입자가 명확한 위치와 궤적을 가지며 파동 함수에 의해 유도된다고 설명하며, 표준 양자역학의 예측과 일치하지만, 외부 관찰자의 개입 없이 시스템의 역학을 지배한다. 드 브로이-봄 이론은 비국소성을 포함하며, 이는 한 입자의 운동이 다른 입자의 위치에 즉각적으로 영향을 미치는 것을 의미하며, 벨의 정리를 통해 벨 테스트 실험으로 이어졌다. 이 이론은 "숨은 변수" 이론으로 불리며, 하이젠베르크의 불확정성 원리와 양자 평형 가설을 설명한다. 드 브로이-봄 이론은 상대론적 확장, 양자장 이론으로의 확장, 양자 궤적 방법, 유체역학적 양자 유사성 등 다양한 분야에 응용되고 있으며, 현대 물리학 연구에서 지속적인 관심을 받고 있다.

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드 브로이-봄 이론
개요
이름	드 브로이-봄 이론
다른 이름	파일럿 파동 이론 봄 역학 봄의 해석 인과적 해석
분야	양자역학의 해석
특징
결정론	결정론적
숨은 변수	숨은 변수 이론
궤적	입자는 항상 잘 정의된 궤적을 가짐
역사적 맥락
창시자	루이 드 브로이 (초기 아이디어) 데이비드 봄 (발전 및 확장)
발표 연도	1952년 (데이비드 봄의 논문)
발전	1927년: 드 브로이가 솔베이 회의에서 초기 아이디어 제시 1952년: 봄이 "숨은 변수 관점에서 본 양자 이론의 해석"이라는 제목으로 두 편의 논문을 발표하며 현대적인 형태의 이론 제시 이후 다양한 연구자들에 의해 발전 (예: 존 스튜어트 벨)
주요 개념
파동 함수	입자의 움직임을 인도하는 '안내 파동'으로 작용
입자 위치	입자는 특정한 위치를 가지며, 이 위치는 파동 함수에 의해 결정되는 '양자 퍼텐셜'의 영향을 받음
양자 퍼텐셜	파동 함수로부터 유도되는 퍼텐셜로, 입자의 움직임에 영향을 줌. 비국소적인 특성을 가짐
숨은 변수	입자의 정확한 위치와 운동량을 결정하는 숨겨진 변수가 존재한다고 가정
수학적 표현
슈뢰딩거 방정식	일반적인 슈뢰딩거 방정식과 동일하게 사용
안내 방정식	입자의 속도를 파동 함수의 기울기와 관련시키는 방정식
확률 밀도	입자의 위치에 대한 확률 밀도는 파동 함수의 제곱에 비례
해석 및 철학적 함의
결정론적 세계관	양자 현상을 결정론적으로 설명하려는 시도
비국소성	양자 얽힘과 관련된 비국소적인 상호작용을 설명 가능
측정 문제	파동 함수의 붕괴 없이 측정 과정을 설명하려는 시도
장단점
장점	직관적인 입자 궤적 제공 양자 측정 문제에 대한 대안적인 관점 제시 양자 얽힘 현상 설명 가능
단점	비국소성의 존재 상대론적 양자역학으로의 확장 어려움 실험적 검증의 어려움
관련 인물
주요 연구자	루이 드 브로이 데이비드 봄 존 스튜어트 벨 배질 할리
관련 개념
관련 이론	양자역학 숨은 변수 이론 파일럿 파동
참고 문헌
주요 논문	데이비드 봄, "숨은 변수 관점에서 본 양자 이론의 해석" (1952)

2. 역사적 배경

드 브로이-봄 이론은 1920년대에 루이 드 브로이에 의해 처음 제안되었다. 드 브로이는 이 이론을 파일럿 파 이론이라고 불렀다. 그러나 1927년 솔베이 회의에서 코펜하겐 해석을 지지하던 과학자들에게 설득당해 이 이론을 포기했다.^[82]

1952년, 데이비드 보옴은 주류 이론에 불만을 품고 드 브로이의 파일럿 파 이론을 재발견했다. 그러나 봄의 제안은 그의 젊은 시절 공산주의 연관성 등 내용과 무관한 이유로 널리 받아들여지지 않았다.^[82] 또한, 드 브로이-봄 이론은 명시적인 비국소성 때문에 주류 이론가들에게 거부감을 샀다.

1990년대 이후, 드 브로이-봄 이론을 특수 상대성 이론 및 양자장론과 조화시키고, 스핀이나 곡선 공간 기하학과 같은 다른 특징을 통합하려는 시도를 통해 드 브로이-봄 이론의 확장에 대한 새로운 관심이 나타났다.^[84]

보옴 해석은 양자역학에서 주류인 비결정론적이고 비실재론적인 코펜하겐 해석과 달리 실재론적인 해석이며, 보옴 본인은 이것을 '''인과율적 해석''', 나중에는 '''존재론적 해석'''이라고 불렀다.

2. 1. 파일럿 파 이론 (1927)

루이 드 브로이는 1927년 솔베이 회의에서 자신의 파일럿파 이론을 발표했다.^[85] 그는 에르빈 슈뢰딩거와 긴밀히 협력하여 자신의 이론에 대한 파동 방정식을 개발했다. 발표가 끝날 무렵, 볼프강 파울리는 이 이론이 엔리코 페르미가 이전에 비탄성 산란에 적용했던 반고전적 기법과 양립할 수 없다고 지적했다. 드 브로이는 파울리의 비판에 대해 적절하게 반박했지만, 청중은 기술적인 세부 사항을 놓쳤을 수 있으며, 그의 온화한 태도는 파울리의 반대가 타당하다는 인상을 남겼다. 결국 드 브로이는 "그것이 불러일으킨 비판에 낙담하여" 이 이론을 포기하도록 설득당했다.^[86]

드 브로이의 이론은 이미 여러 스핀이 없는 입자에 적용되었지만, 당시에는 양자 디코히어런스를 이해하는 사람이 없었기에 적절한 측정 이론이 부족했다.

2. 2. 드 브로이-보옴 이론 (1952)

데이비드 보옴은 1952년에 루이 드 브로이의 이론을 재발견하고, 측정 이론을 포함하여 확장했다. 이 이론은 결정론적이며, 다체계에 적용 가능하다.^[126]^[127] 존 스튜어트 벨은 이 이론의 비국소성을 명확히 지적하며 옹호했다.^[83]

2. 3. 인과율적 해석과 존재론적 해석 (1960년대~1990년대)

보옴은 자신의 원래 아이디어를 발전시켜 ''인과적 해석''이라고 불렀다. 이후 그는 ''인과적''이라는 용어가 ''결정론적''과 너무 유사하다고 느껴 자신의 이론을 ''존재론적 해석''이라고 부르는 것을 선호했다. 주요 참고 자료는 "분열되지 않은 우주"(보옴, 하일리 1993)이다.^[125]

이 단계는 보옴과 장 피에르 비지에 및 바질 하일리와의 협력으로 이루어진 연구를 다룬다. 보옴은 이 이론이 비결정론적이라는 점을 분명히 밝히고 있다(하일리와의 연구에는 확률론적 이론이 포함되어 있다). 따라서 이 이론은 엄밀히 말해 드 브로이-봄 이론의 공식화는 아니지만, "보옴 해석"이라는 용어가 이 이론과 드 브로이-봄 이론 사이에서 모호하게 사용되기 때문에 여기에서 언급할 가치가 있다.

보옴 해석은 시간이 지남에 따라 그 내용을 변화시켜 왔으며, 다음과 같은 다른 형태가 존재한다.

; 인과율적 해석과 존재론적 해석

: 보옴은 자신의 아이디어를 더욱 발전시켜 '''인과율적 해석'''이라고 불렀지만, "인과율적"이라는 말이 "결정론적"과 마찬가지로 받아들여질 수 있기 때문에, 나중에 '''존재론적 해석'''으로 고쳤다. 이 이론은 Hiley와의 공저^[125]에 정리된 형태이다. 이는 Vigier나 Hiley 등의 협력 하에 보옴이 발전시킨 생각에 기초하고 있다. 보옴은 이 이론이 더 이상 결정론적인 것이 아니라고 인식했다(해당 저서에는 확률론적인 이론이 포함되어 있다).

3. 이론적 틀

드 브로이-봄 이론은 우주의 좌표 $q^k$ 로 묘사되는 설정 공간 $Q$ 의 원소인 우주의 설정 $q$ 가 존재한다는 가정에서 시작한다. 설정 공간은 이론의 버전에 따라 달라지는데, 예를 들어 $N$ 개 입자의 위치 $\mathbf{Q}_k$ 의 공간이거나, 장 이론의 경우 장 설정 $\phi(x)$ 의 공간일 수 있다. 이 설정은 다음 유도 방정식에 따라 진화한다.^[5]

: $m_k \frac{d q^k}{dt}(t) = \hbar \nabla_k \operatorname{Im} \ln\psi(q,t) = \hbar \operatorname{Im}\left(\frac{\nabla_k \psi}{\psi}\right)(q, t) = \frac{m_k \mathbf{j}_k}{\psi^*\psi} = \operatorname{Re}\left(\frac{\mathbf{\hat P}_k\Psi}{\Psi}\right)$

여기서 $\mathbf{j}$ 는 확률 전류 또는 확률 플럭스이고, $\mathbf{\hat P}$ 는 운동량 연산자이다. $\psi(q,t)$ 는 슈뢰딩거 방정식에 따라 진화하는 표준 복소수 값 파동 함수이다.

: $i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(q,t) = - \sum_{i=1}^{N} \frac{\hbar^2}{2m_i} \nabla_i^2 \psi(q,t) + V(q)\psi(q,t).$

위 두 방정식은 $H =\sum \frac{1}{2m_i}\hat{p}_i^2 + V(\hat{q})$ 와 같은 유형의 해밀턴 연산자를 갖는 모든 양자론에 대한 이론의 사양을 완성한다.

또한, 설정은 특정 시간 $t$ 에서 $|\psi(q,t)|^2$ 에 따라 분포하며, 모든 시간에 대해 유지된다. 이 상태를 양자 평형이라고 하며, 이 상태에서 이론은 표준 양자 역학의 결과와 일치한다. 봄은 1952년의 원래 논문에서 통계 역학적 논증을 통해 이러한 분포를 유도할 수 있다고 제시했다.^[13]

3. 1. 기본 원리

드 브로이-봄 이론은 우주 전체를 기술하는 설정값

q^k

가 존재한다는 공리에 기반한다. 이 설정값은 파일럿 파동 이론의 버전에 따라 달라지는데, 예를 들어

N

개 입자들의 위치

\mathbf{Q}_k

공간이거나, 장 이론에서는 장(field)의 설정값

\phi(x)

공간일 수 있다. 이 설정값은 다음 유도 방정식에 따라 변화한다.^[5]

:

m_k \frac{d q^k}{dt}(t) = \hbar \nabla_k \operatorname{Im} \ln\psi(q,t) = \hbar \operatorname{Im}\left(\frac{\nabla_k \psi}{\psi}\right)(q, t) = \frac{m_k \mathbf{j}_k}{\psi^*\psi} = \operatorname{Re}\left(\frac{\mathbf{\hat P}_k\Psi}{\Psi}\right)

여기서

\mathbf{j}

는 확률 전류 또는 확률 플럭스이고,

\mathbf{\hat P}

는 운동량 연산자이다.

\psi(q,t)

는 슈뢰딩거 방정식에 따라 변화하는 표준 복소수 값 파동 함수이다.

:

i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(q,t) = - \sum_{i=1}^{N} \frac{\hbar^2}{2m_i} \nabla_i^2 \psi(q,t) + V(q)\psi(q,t).

이 방정식은

H =\sum \frac{1}{2m_i}\hat{p}_i^2 + V(\hat{q})

와 같은 유형의 해밀턴 연산자를 갖는 모든 양자론에 대한 이론을 완성한다.

또한, 설정값은 특정 시간

t

에서

|\psi(q,t)|^2

에 따라 분포하며, 이 분포는 모든 시간에 대해 유지된다. 이 상태를 양자 평형이라고 하며, 이 상태에서 이론은 표준 양자 역학의 결과와 일치한다.

봄은 1952년의 원래 논문에서 통계 역학적 논증을 통해 이러한 분포를 유도할 수 있다고 제시했다.^[13] 1953년의 연구에서 이 주장은 더욱 뒷받침되었고, 1954년 비지에와 봄의 논문에서는 확률적 "유체 변동"을 도입하여 양자 비평형에서 양자 평형(ρ → |ψ|²)으로의 점근적 완화 과정을 유도했다.

드 브로이-봄 이론에서 파동 함수는 두 슬릿 모두에서 정의되지만, 각 입자는 정확히 하나의 슬릿을 통과하는 잘 정의된 궤적을 갖는다. 검출기 화면에서 입자의 최종 위치와 입자가 통과하는 슬릿은 입자의 초기 위치에 의해 결정된다. 이러한 초기 위치는 실험자가 알거나 제어할 수 없으므로 감지 패턴에 무작위성이 나타난다. 봄은 1952년 논문에서 파동 함수를 사용하여 뉴턴의 방정식에 포함될 때 두 개의 슬릿을 통과하는 입자의 궤적을 제공하는 양자 포텐셜을 구성했다.

드 브로이-봄 이론은 배치 공간에서 파일럿 파동과 고전 역학과 유사하지만 비 뉴턴 역학에 의해 정의된 입자의 궤적을 설명한다.^[5] 매 순간 파동 함수뿐만 아니라 전체 우주의 잘 정의된 구성이 존재한다.

드 브로이-봄 이론은 고전 역학처럼 입자 위치와 궤적에 적용되지만, 역학은 다르다. 고전 역학에서 입자의 가속도는 물리적 3차원 공간에 존재하는 힘에 의해 직접적으로 가해진다. 드 브로이-봄 이론에서는 양자 "장이 새로운 종류의 "양자 역학적" 힘을 행사한다".^[6] 봄은 각 입자가 양자 포텐셜에 의해 파동 함수가 제공하는 정보에 반응할 수 있는 능력을 제공하는 "복잡하고 미묘한 내부 구조"를 가지고 있다고 가정했다.^[7] 또한, 고전 역학과 달리 물리적 특성(예: 질량, 전하)은 드 브로이-봄 이론에서 입자 위치에 국한되지 않고 파동 함수 전체에 퍼져 있다.^[8]^[9]

파동 함수 자체는 입자가 아니라 시스템의 동적 진화를 결정한다. 입자는 파동 함수에 다시 작용하지 않는다. 봄과 힐리는 "양자장에 대한 슈뢰딩거 방정식은 소스를 가지고 있지 않으며, 입자의 상태에 의해 직접적으로 영향을 받을 수 있는 다른 방법도 가지고 있지 않다[...] 양자 이론은 양자장이 입자에 대한 소스나 다른 형태의 의존성을 가지고 있지 않다는 가정으로 완전히 이해될 수 있다"라고 표현했다.^[10]

다음은

\mathbb{R}^3

에서 움직이는 한 입자에 대한 설정과 3차원에서 움직이는 ''N''개의 입자에 대한 설정이 주어진다.

스핀이 없는 단일 입자가

\mathbb{R}^3

에서 움직이는 경우, 입자의 속도는 다음과 같다.

:

\frac{d\mathbf{Q}}{dt}(t) = \frac{\hbar}{m} \operatorname{Im}\left(\frac{\nabla \psi}{\psi}\right)(\mathbf{Q}, t).

여러 입자가 있는 경우,

k

번째 입자에 대해

\mathbf{Q}_k

로 레이블이 지정되면, 해당 입자들의 속도는 다음과 같다.

:

\frac{d\mathbf{Q}_k}{dt}(t) = \frac{\hbar}{m_k} \operatorname{Im}\left(\frac{\nabla_k \psi}{\psi}\right)(\mathbf{Q}_1, \mathbf{Q}_2, \ldots, \mathbf{Q}_N, t).

주목해야 할 주요 사실은 이 속도장이 우주에 있는 모든

N

개 입자의 실제 위치에 의존한다는 것이다.

단일 입자 슈뢰딩거 방정식은

\mathbb{R}^3

에서 복소수 값을 갖는 파동 함수의 시간 진화를 지배한다.

:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi.

다중 입자의 경우, 방정식은

\psi

와

V

가 이제 구성 공간

\mathbb{R}^{3N}

에 있다는 점을 제외하고는 동일하다.

:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi = -\sum_{k=1}^{N}\frac{\hbar^2}{2m_k}\nabla_k^2\psi + V\psi.

이것은 기존의 양자 역학에서의 파동 함수와 동일하다.

봄의 원래 논문에서^[13] 그는 드브로이-뵘 이론이 양자역학의 일반적인 측정 결과를 어떻게 만들어내는지 논의했다. 주요 아이디어는 입자의 위치가

|\psi|^2

로 주어진 통계적 분포를 만족하면 이 결과가 참이라는 것이다. 그리고 입자의 초기 분포가

|\psi|^2

을 만족하면 지침 방정식에 의해 해당 분포가 항상 참이라는 것이 보장된다.

3. 2. 슈뢰딩거 방정식의 재구성

보옴은 슈뢰딩거 방정식을 재구성하여 파동 함수를 절대값과 위상으로 분리하고, 각각에 대한 방정식을 유도했다.^[13]

파동 함수를 극형식으로 분해하면 다음과 같다.

:

\psi = R e^{iS/\hbar}

여기서 R은 파동 함수의 절대값이며, S는 위상이다. 이 분해를 통해 슈뢰딩거 방정식을 두 개의 방정식으로 나눌 수 있다.

첫 번째 방정식은 확률 밀도(

\rho = R^2

)의 보존을 나타내는 연속 방정식이다.

:

-\frac{\partial\rho}{\partial t} = \nabla \cdot (\rho \frac{\nabla S}{m})

이 방정식은 확률 흐름이 전류를 따라 흐르는 것을 설명한다.

두 번째 방정식은 해밀턴-야코비 방정식으로, 다음과 같다.

:

\frac{\partial S}{\partial t} = -\left[\frac{1}{2m}(\nabla S)^2 + V + Q\right]

여기서 V는 고전적인 포텐셜이고,

Q = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\nabla^2 R}{R}

항은 양자 포텐셜이라고 불리는 항이다. 이 방정식은 양자 힘에 의해 수정된 고전적인 힘 하에서 움직이는 입자를 나타낸다. 그러나 표준 뉴턴 역학과 달리 초기 속도장은 이미

\frac{\nabla S}{m}

로 주어져 있는데, 이는 2차 방정식이 아닌 1차 방정식이라는 것을 의미한다.^[13]

3. 2. 1. 단일 입자계

드 브로이-봄 이론에서 단일 입자의 경우, 파동 함수

\psi(\boldsymbol{x},t)

는 실수 부분

R(\boldsymbol{x},t)

과 허수 부분

S(\boldsymbol{x},t)

로 분리된다.

:

\psi(\boldsymbol{x},t) = R(\boldsymbol{x},t)e^{i S(\boldsymbol{x},t) / \hbar}.

여기서

R(\boldsymbol{x},t)

는 파동 함수의 절대값

|\psi (\boldsymbol{x},t)|

이며, 그 제곱

R^2(\boldsymbol{x},t)

는 확률 밀도

\rho (\boldsymbol{x},t) = |\psi (\boldsymbol{x},t)|^2

가 된다.

S(\boldsymbol{x},t)

는 파동 함수의 위상(편각)이며, 작용에 해당한다.

:

\psi(\boldsymbol{x},t) = \sqrt{\rho(\boldsymbol{x},t)} e^{i S(\boldsymbol{x},t) / \hbar}.

입자는 ψ장 속에서 다음 유도 방정식에 따라 운동한다.

:

\frac{d \boldsymbol{x}(t)}{dt} = \frac{\hbar}{m} \operatorname{Im}\left(\frac{\nabla \psi (\boldsymbol{x},t)}{\psi(\boldsymbol{x},t)}\right) = \frac{1}{m} \nabla S (\boldsymbol{x},t).

이 식으로부터 입자의 궤적을 얻을 수 있다.

슈뢰딩거 방정식은

R(\boldsymbol{x},t)

와

S(\boldsymbol{x},t)

에 대한 연립 방정식으로 다시 쓸 수 있다.

:

\begin{align}-\frac{\partial \rho(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} &= \nabla \cdot \left(\rho (\boldsymbol{x},t)\frac{\nabla S(\boldsymbol{x},t)}{m}\right) \qquad (1) \\m \frac{d^2 \boldsymbol{x}(t)}{dt^2} &= -\nabla(V(\boldsymbol{x}) + Q(\boldsymbol{x},t) ) \qquad (2) \end{align}

여기서

Q(\boldsymbol{x},t)

는 '''양자 퍼텐셜'''이며, 다음과 같이 정의된다.

:

Q(\boldsymbol{x},t) = -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{\nabla^2 R(\boldsymbol{x},t)}{R(\boldsymbol{x},t)}= -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{\nabla^2 \sqrt{\rho(\boldsymbol{x},t)}}{ \sqrt{\rho(\boldsymbol{x},t)}}= -\frac{\hbar^2}{2 m} \left[\frac{\nabla^2 \rho(\boldsymbol{x},t)}{2 \rho(\boldsymbol{x},t)}

\left(\frac{\nabla \rho(\boldsymbol{x},t)}{2 \rho(\boldsymbol{x},t)}

\right)^2\right].

보옴은 위 식 (2)를 입자의 운동에 대한 기본 방정식으로 채택했다. 양자 퍼텐셜은 R이 작은 곳에서 매우 커지며, 파동 함수의 마디 부분(R=0인 곳)에서 발산하는 경우도 있다.

3. 2. 2. 다입자계

드 브로이-봄 이론에서 다입자계는 각 입자가 다른 모든 입자의 위치에 영향을 받는 방식으로 기술된다.

k

번째 입자의 속도는 다음과 같이 주어진다.^[5]

:

\frac{d\mathbf{Q}_k}{dt}(t) = \frac{\hbar}{m_k} \operatorname{Im}\left(\frac{\nabla_k \psi}{\psi}\right)(\mathbf{Q}_1, \mathbf{Q}_2, \ldots, \mathbf{Q}_N, t).

여기서

\mathbf{Q}_k

는

k

번째 입자의 위치를 나타내며, 이 속도 방정식은 우주의 모든

N

개 입자의 실제 위치에 의존한다. 즉, 각 입자의 속도는 다른 모든 입자의 위치에 의해 결정되므로, 이론은 비국소적(nonlocal) 특성을 갖는다.^[5]

이러한 비국소성은 입자들이 서로 얽혀 있는 방식에서 비롯된다. 입자 위치는 실제 공간에 존재하지만, 속도장과 파동 함수는 배치 공간에 존재하기 때문이다.^[5]

다입자계의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

:

i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \sum_i \frac{-\hbar^2}{2 m_i} \nabla_i^2 \psi + V \psi,

여기서 ''i''번째 입자는

m_i\,

의 질량을 가지며, 시간 ''t''에서의 위치 좌표를

\boldsymbol{x}_i

로 한다. 파동 함수

\psi(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2,\dots,t)

는 모든 입자의 위치 좌표

\boldsymbol{x}_i

와 시간 ''t''의 함수이다.

\nabla_i

는 ''i''번째 입자의 위치 좌표

\boldsymbol{x}_i

에 대한 벡터 연산자 델 연산자이다.

파동 함수는

\psi=Re^{i S/\hbar}

와 같이 절대값

R(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2,\dots,t)

과 위상

S(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2,\dots,t)

로 분해 가능하다.

입자는 이 ψ장 안에서 다음의 선도 방정식에 따라 운동한다.

:

\frac{d\mathbf{x}_i(t)}{dt} = \frac{\hbar}{m_i} \operatorname{Im}\left(\frac{\nabla_i \psi }{\psi}\right) = \frac{1}{m_i} \nabla_i S .

이 식으로부터 ''i''번째 입자의 궤적을 얻을 수 있다.

확률 밀도

\rho(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2,\dots,t)

는 다음 식으로 정의되는 실수 함수이다.

:

\rho = |\psi|^2.

\rho

를 사용하면 파동 함수는 다음과 같이 표현된다.

:

\psi = \sqrt{\rho} e^{i S / \hbar}

.

\rho

와

S

에 대한 연립 방정식은 다음과 같다.

:

\begin{align}-\frac{\partial \rho}{\partial t} &= \sum_i \nabla_i \cdot \left(\rho \frac{\nabla_i S}{m_i}\right) \qquad (3) \\m_i \frac{d^2 \boldsymbol{x}_i(t)}{dt^2} &= -\nabla_i(V + Q ) \qquad (4) \end{align}

여기서

Q

는 다음과 같다.

:

Q = -\sum_i \frac{\hbar^2}{2 m_i} \frac{\nabla_i^2 R}{R}= -\sum_i\frac{\hbar^2}{2 m_i} \left[\frac{\nabla_i^2 \rho}{2 \rho}

\left(\frac{\nabla_i \rho}{2 \rho}

\right)^2\right].

4. 주요 특징 및 논쟁

드 브로이-봄 이론은 표준 양자역학과 동일한 예측을 하지만, 몇 가지 특징과 논쟁점을 가진다.

드 브로이-봄 이론에 따르면, 실험 결과는 표준 양자역학의 예측과 일치한다. 그러나 표준 양자역학이 측정 결과에 대한 논의에 그치는 반면, 드 브로이-봄 이론은 외부 관찰자의 개입 없이 시스템의 역학을 설명한다.^[66] 표준 양자역학과의 일치는 입자들이 $|\psi|^2$ (파동 함수의 제곱)에 따라 분포한다는 가정에 기반한다. 이는 관찰자의 무지에 대한 진술이며, 결정론적 궤적이더라도 초기 위치의 통계적 분포로 인해 통계적 분포를 초래한다.^[14]

일반적인 양자 이론에서는 입자의 스핀이나 편광을 직접 측정하는 것은 불가능하며, 한 방향의 성분만을 측정하여 1 또는 -1의 결과를 얻는다. 슈테른-게를라흐 실험에서 볼 수 있듯, 편광된 입자 앙상블은 상대적 정렬에 따라 확률적으로 다른 결과를 낸다.

드 브로이-봄 이론에서는 스핀 실험 결과가 실험 설정에 따라 달라진다. 실험 설정을 바꾸면 입자 궤적에 영향을 주지 않으면서도 다른 결과를 얻을 수 있다.^[52] 즉, 입자의 스핀은 고유한 속성이 아니라, 측정 장치와 관련된 파동 함수에 따라 결정된다. 이는 맥락성의 예시이며, 측정 결과가 시스템과 환경의 결정론적 속성임을 보여준다.^[53]

표준 양자역학에서는 물리량 측정을 힐베르트 공간의 연산자 측정으로 간주하며, 이는 이론의 추가적인 공리이다. 반면, 드 브로이-봄 이론은 이러한 측정 공리가 필요 없으며, 연산자-관측 가능량 형식주의는 정리로 도출된다.^[54] 많은 관측 가능한 물리량의 측정은 입자의 속성이 아닌 파동 함수의 측정이다.

드 브로이-봄 이론은 불가능하다는 주장이 있었지만, 이는 연산자를 관측 가능량으로 잘못 분석한 결과이다. 스핀 측정이 실제로 입자의 스핀을 측정한다고 믿으면 모순이 발생하지만, 드 브로이-봄 이론은 스핀이 파동 함수의 특징이라고 설명한다. 따라서 불가능성 정리는 무의미하다.

수소 바닥 상태와 같이 실수 파동 함수를 가지는 경우, 안내 방정식에 따르면 전자는 정지해 있어야 한다. 하지만 전자는 $|\psi|^2$ 에 따라 분포하며, 실험 결과와 모순은 발견되지 않는다.

연산자를 관측 가능량으로 간주하면 많은 연산자가 동등하다고 믿게 되지만, 드 브로이-봄 이론은 위치 관측 가능량을 우선시한다. 이는 입자 시스템을 설명하기 위해 항상 입자의 위치를 설명하는 것을 목표로 하기 때문이다. 다른 관측 가능량은 확정된 결과를 보장하지 않지만, 이에 대한 수학적 이론을 정의하는 데는 문제가 없다.^[55]

봄 공식은 양자 퍼텐셜이 무시될 수 있는 상황에서 고전적인 행동을 즉시 보여주는 장점이 있다. 현대 데코히어런스 방법론은 이러한 극한 분석에 적용될 수 있다.^[69]

김 요리스 보스트룀은 에버렛의 다세계 해석과 드 브로이-봄 역학을 결합한 이론을 제안했다. 호킹과 와인버그의 비현실적인 다세계 해석은 비현실적인 빈 가지 세계에 대한 봄의 개념과 유사하다.

많은 저자들이 드 브로이-봄 이론을 에버렛의 다세계 접근 방식과 비교하며 비판했다. 봄과 벨 등은 보편적 파동 함수를 물리적으로 실재하는 것으로 해석한다. 에버렛 이론의 일부 지지자들은 파동 함수가 물리적으로 실재한다면, 이 이론은 에버렛 이론과 동일한 다세계를 갖는다고 해석한다. 에버렛적 관점에서 봄 입자의 역할은 보편 파동 함수의 한 가지를 가리키는 것이다. 다른 가지는 "비어 있음"으로 간주된다.^[76] H. 디터 제는 이러한 "빈" 가지에 대해 언급한다.^[73]

데이비드 도이치는 더욱 신랄하게 표현했다.^[76]^[74]

그러나 데틀레프 뒬과 저스틴 라자로비치는 이러한 주장에 대해 반박했다.

> 봄주의자는 세계를 구성하는 것이 추상적인 구성 공간의 파동 함수가 아니라, 3차원 공간의 입자 구성이라고 주장한다. 에버렛주의자에게는 벨의 의미에서 국소적인 가변량이 없다고 비난하며, 많은 세계는 이러한 생략의 결과라고 본다.^[75]

드 브로이-봄 이론은 초기 버전에서는 결정론적이었지만, 확장 버전에서는 확률론적 요소가 도입되었다. 로데릭 I. 서더랜드는 파일럿 파동과 존재자 간의 양방향 작용을 포함하는 라그랑지언 형식을 제안하여 양자 후 비통계적 이론을 제시했다.^[35]

드 브로이와 봄의 해석은 확률적 특성을 포함하도록 확장되었다. 봄과 발렌티니 등은 확률 밀도 함수 $\rho = R^2$ 에 연결하는 본 규칙을 기본 법칙이 아닌, 시스템이 '양자 평형'에 도달한 결과로 본다. 평형 도달 후 시스템은 추가 진화 과정에서 평형 상태를 유지한다.^[48]

4. 1. 비국소성

드 브로이-봄 이론은 명시적으로 비국소적이다. 즉, 한 입자의 속도와 가속도는 다른 모든 입자의 순간적인 위치에 영향을 받는다.^[67] 이는 벨 정리에 의해 입증된 양자역학의 비국소성과 일치한다.^[64]

드 브로이-봄 이론에서 비국소성은 한 입자의 속도장이 우주에 있는 모든 입자의 실제 위치에 의존한다는 사실에서 비롯된다. 여러 입자가 있는 경우, k번째 입자의 속도는 다음과 같이 주어진다.

:

\frac{d\mathbf{Q}_k}{dt}(t) = \frac{\hbar}{m_k} \operatorname{Im}\left(\frac{\nabla_k \psi}{\psi}\right)(\mathbf{Q}_1, \mathbf{Q}_2, \ldots, \mathbf{Q}_N, t).

이 식에서 볼 수 있듯이, 한 입자의 속도는 파동 함수(

\psi

)뿐만 아니라 다른 모든 입자들의 위치(

\mathbf{Q}_1, \mathbf{Q}_2, \ldots, \mathbf{Q}_N

)에 의존한다. 이는 한 입자의 운동이 다른 입자의 위치에 즉각적으로 영향을 미칠 수 있음을 의미한다.

알랭 아스페가 수행한 벨 테스트 실험에서 얽힌 입자 쌍이 생성되고, 입자들은 분리되어 원격 측정 장치로 이동한다. 측정 장치의 방향은 입자가 비행 중일 때 변경될 수 있으며, 이는 효과의 명백한 비국소성을 보여준다. 드 브로이-봄 이론은 장치의 방향이 파동 함수에 영향을 미치고, 입자들은 파동 함수의 지침을 따르기 때문에 이러한 비국소적 효과가 나타난다고 설명한다. 장치의 방향을 변경하는, 빛보다 빠른 효과를 전달하는 것은 바로 파동 함수이다.^[68]

존 스튜어트 벨은 비국소성이 초광속 통신을 허용하지 않는다는 것을 보여주었다.^[68]

4. 2. 숨은 변수 이론

드 브로이-봄 이론은 종종 "숨은 변수" 이론이라고 불린다. 봄은 이 용어를 이 주제에 대한 자신의 초기 논문에서 사용하며 "일반적인 해석의 관점에서 볼 때, 이러한 추가적인 요소 또는 매개변수[모든 과정에 대한 상세한 인과적이고 연속적인 설명을 허용하는]를 '숨겨진' 변수라고 부를 수 있다."라고 썼다.^[56] 봄과 힐리는 나중에 봄이 "숨은 변수"라는 용어를 선택한 것이 너무 제한적이라고 말했다. 특히, 그들은 입자가 실제로 숨겨진 것이 아니라 "관찰에서 가장 직접적으로 나타나는 것이며[비록] 그 속성은 (불확정성 원리에 의해 설정된 한계 내에서) 임의의 정밀도로 관찰될 수 없다"고 주장했다.^[56] 그러나 다른 사람들은 그럼에도 불구하고 "숨은 변수"라는 용어를 적절한 설명으로 간주한다.^[57]

일반화된 입자 궤적은 동등하게 준비된 시스템의 앙상블에 대한 수많은 약한 측정을 통해 추정할 수 있으며, 이러한 궤적은 드 브로이-봄 궤적과 일치한다. 특히, 약한 측정과 사후 선택을 사용하여 한 광자의 봄 궤적 집합을 결정한 두 개의 얽힌 광자를 사용한 실험은 해당 광자의 궤적과 다른 광자의 편광 간의 비국소적 연결의 관점에서 이해할 수 있다.^[58]^[59] 그러나 드 브로이-봄 해석뿐만 아니라 그러한 궤적을 포함하지 않는 양자 역학의 많은 다른 해석도 그러한 실험적 증거와 일치한다.

4. 3. 결정론과 비결정론

드 브로이-봄 이론은 고전 역학처럼 입자 위치와 궤적을 다루지만, 그 역학은 다르다. 고전 역학에서는 힘이 입자의 가속도를 직접 결정하는 반면, 드 브로이-봄 이론에서는 양자 "장"이 새로운 종류의 "양자 역학적" 힘을 행사한다.^[6] 봄은 각 입자가 양자 포텐셜에 의해 파동 함수가 제공하는 정보에 반응하는 "복잡하고 미묘한 내부 구조"를 가지고 있다고 가정했다.^[7]

초기 버전의 드 브로이-봄 이론은 결정론적이었다. 즉, 모든 입자의 초기 위치와 속도를 알면 미래의 궤적을 정확하게 예측할 수 있었다. 하지만, 이론의 확장 버전에서는 확률론적 요소가 도입되었다. 예를 들어, 시드니 대학교의 로데릭 I. 서더랜드는 파일럿 파동과 존재자 간의 양방향 작용-반작용을 포함하는 라그랑지언 형식을 제안했다. 이는 양자 후 비통계적 이론으로, 최종 경계 조건이 양자 이론의 무 신호 정리를 위반할 수 있다.^[35]

드 브로이-봄 이론은 비국소적인데, 이는 한 입자의 속도와 가속도가 다른 모든 입자의 순간적인 위치에 의존한다는 것을 의미한다. 특수 상대성 이론에서는 순간성의 개념이 절대적이지 않기 때문에, 입자 궤적을 정의하기 위해 추가적인 규칙(시공간의 선호하는 잎상 구조)이 필요하다는 주장이 제기되었다.^[21] 니콜리치는

|\psi|^2

이 시공간에서의 확률 밀도인 양자 이론의 일반화된 상대론적 불변 확률적 해석을 개발하여, 선호하는 잎상 구조 없이 드 브로이-봄 이론의 상대론적 공변적 버전을 공식화했다.^[31]^[41]^[32]

4. 4. 양자 평형 가설

입자의 초기 위치 분포가 파동 함수의 제곱(

|\psi|^2

)에 비례한다는 가설이다. 이 가설은 드 브로이-봄 이론이 표준 양자역학과 동일한 예측을 제공하는 데 필요하다.^[13]

뵘의 원래 논문에 따르면, 입자의 위치가

|\psi|^2

로 주어진 통계적 분포를 만족하면, 실험 결과가 양자역학의 일반적인 측정 결과와 일치한다. 또한 입자의 초기 분포가

|\psi|^2

을 만족하면, 지침 방정식에 의해 해당 분포가 항상 유지된다는 것이 보장된다.^[13]

듀어 등(Dürr et al.)은

|\psi|^2

가 시스템의 동적 진화 하에서 등변성을 가지므로, 입자 위치의 초기 조건에 대한 전형성을 나타내는 적절한 척도라고 주장했다. 그들은 가능한 초기 구성의 대다수가 측정 결과에 대해 본 규칙(

|\psi|^2

)을 따르는 통계를 생성함을 증명했다. 즉, 드 브로이-뵘 역학이 지배하는 우주에서 본 규칙 행동은 전형적이다.^[14]

이 상황은 고전 통계 물리학에서 낮은 엔트로피 초기 조건이 높은 확률로 더 높은 엔트로피 상태로 진화하는 것과 유사하다. 즉, 열역학 제2법칙과 일치하는 행동이 전형적이다. 드 브로이-뵘 이론에서도 본 규칙을 위반하는 비정상적인 초기 조건이 존재하지만, 전형성 정리는 그러한 특별한 초기 조건이 실제로 실현되었다고 믿을 특별한 이유가 없는 한, 본 규칙 행동을 기대해야 함을 보여준다.^[14]

이러한 의미에서 본 규칙은 드 브로이-뵘 이론에서 추가적인 공준이 아닌 정리이다.

또한, 본 규칙에 따라 분포되지 않은 입자 분포(즉, "양자 평형 상태를 벗어난" 분포)가 드 브로이-뵘 역학 하에서 진화하면, 압도적으로

|\psi|^2

로 분포된 상태로 동적으로 진화할 가능성이 높다.^[15]

드 브로이와 봄의 양자역학 해석은 확률적 특성을 포함하도록 확장되었다. 봄과 발렌티니 등은

R

을 확률 밀도 함수

\rho = R^2

에 연결하는 본 규칙을 기본 법칙이 아닌, 슈뢰딩거 방정식에 따른 시간 전개 과정에서 시스템이 '양자 평형'에 도달한 결과로 본다. 일단 평형이 도달하면 시스템은 추가적인 진화 과정에서 이러한 평형 상태를 유지한다. 이는

\psi

의 슈뢰딩거 진화와 관련된 연속 방정식에서 따른다.^[48]

4. 5. 초현실적 궤적 논쟁

일반화된 입자 궤적은 동등하게 준비된 시스템의 앙상블에 대한 수많은 약한 측정을 통해 추정할 수 있으며, 이러한 궤적은 드 브로이-봄 이론 궤적과 일치한다.^[58]^[59] 특히, 약한 측정과 사후 선택을 사용하여 한 광자의 봄 궤적 집합을 결정한 두 개의 얽힌 광자를 사용한 실험은 해당 광자의 궤적과 다른 광자의 편광 간의 비국소적 연결로 이해할 수 있다. 그러나 드 브로이-봄 해석뿐만 아니라 그러한 궤적을 포함하지 않는 양자 역학의 다른 많은 해석도 그러한 실험적 증거와 일치한다.

이중 슬릿 실험의 특수한 버전은 궤적 예측의 특성을 테스트하기 위해 고안되었다.^[60] 이 개념을 실험적으로 구현한 결과는 표준적인 양자 역학과 다르며, 봄 예측과 일치하지 않았다.^[61] 이러한 결론은 논쟁의 대상이 되어 왔다.^[62]^[63]

5. 확장 및 응용

드 브로이-봄 이론은 여러 방향으로 확장 및 응용되었다.
상대론적 확장파일럿 파동 이론은 명백히 비국소적이어서 특수 상대성 이론과 표면적으로 모순된다. 이 문제를 해결하기 위해 다양한 확장이 시도되었다. 봄은 1953년에 단일 입자에 대한 디랙 방정식을 만족하는 이론을 제시했지만, 다입자 경우로 확장할 수 없었다.^[17]

1990년대에는 봄 역학의 로렌츠 스칼라 로렌츠 불변 확장을 구성하려는 시도가 있었다.^[18]^[19] Dürr et al.은 봄-디랙 모델과 시공간의 로렌츠 불변 잎상 구조를 사용한 접근 방식을 제시하며,^[20] 추가 구조를 도입하여 봄-디랙 이론에 대해 형식적으로 로렌츠 불변성을 복원했다. 2013년에 Dürr et al.은 필요한 잎상 구조가 파동 함수에 의해 공변적으로 결정될 수 있다고 제안했다.^[21]
양자장 이론으로의 확장드 브로이-봄 이론은 입자 생성 및 소멸을 다루기 위해 양자장 이론으로 확장되었다.^[39]^[40] 뒬 등은 생성 소멸 연산자를 다루는 "벨형 양자장 이론"을 설명했다. 이 이론에서 설정 공간은 입자 개수에 따라 분리된 공간들의 합으로 구성된다. 고정된 수의 입자를 가진 시스템은 결정론적으로 진화하지만, 확률 과정에 따라 입자가 생성되거나 소멸될 수 있다. 흐르보예 니콜리치^[41]는 입자 궤적이 연속적이며 실제 생성 또는 소멸이 없어도 입자 검출기가 마치 생성 또는 소멸이 일어난 것처럼 동작하는 결정론적 드 브로이-봄 이론을 제시했다.
양자 궤적 방법로버트 E. 와이어트는 2000년대 초반, 봄 "입자"를 시간과 공간에서 양자 상태의 실제 궤적을 따르는 적응형 메쉬로 사용하려는 시도를 했다. "양자 궤적" 방법에서 양자 파동 함수는 구적점 메쉬로 표본 추출된다. 그런 다음 봄 운동 방정식을 따라 구적점을 시간에 따라 진화시킨다.^[70] 에릭 R. 비트너 그룹^[71]은 베이지안 샘플링 기술을 사용하는 통계적 변형을 발전시켰다. 봄 접근 방식은 양자 파동 함수의 마디로 인해 양자 포텐셜에 특이점이 형성되는 어려움이 있다.
유체역학적 양자 유사성쿠데와 포트(2006)의 연구^[107]^[108]를 시작으로, 양자 역학의 유체역학적 유사성에 대한 실험은 거시적 고전 파일럿 파동이 양자 영역에만 국한된다고 여겨졌던 특성을 나타낼 수 있음을 보여주려 했다. 유체역학적 파일럿 파동 유사성은 이중 슬릿 실험, 터널링, 양자화된 궤도 및 기타 수많은 양자 현상을 복제한다고 주장되어 파일럿 파동 이론에 대한 관심이 다시 높아졌다.^[109]^[110]^[111]

이러한 결과에 대해 이견도 있었는데, 실험에서 이중 슬릿 실험의 측면을 재현하지 못했다는 주장이다.^[113]^[114] 터널링의 경우, 고정밀 측정 결과는 장벽과의 상호 작용이 관련되어 있음을 시사한다.^[115] 표면 중력파에서도 또 다른 고전적 유사가 보고되었다.^[116]

부시(2015)의 보행 방울 시스템, 드 브로이의 이중 해 파일럿 파동 이론^[118]^[119] 및 확률적 전자기학(SED)로의 확장^[120]^[121] 간의 비교
	유체역학적 보행기	드 브로이	SED 파일럿 파동
구동	욕조 진동	내부 시계	진공 변동
스펙트럼	단색	단색	광대역
트리거	바운싱	지터베베궁	지터베베궁
트리거 주파수	$\omega_F$	$\omega_c=mc^2/\hbar$	$\omega_c=mc^2/\hbar$
에너지학	GPE $\leftrightarrow$ 파동	$mc^2\leftrightarrow\hbar\omega$	$mc^2\leftrightarrow$ EM
공명	방울-파동	위상의 조화	명시되지 않음
분산 $\omega(k)$	$\omega_F^2\approx\sigma k^3/\rho$	$\omega^2\approx\omega_c^2+c^2k^2$	$\omega=ck$
캐리어 $\lambda$	$\lambda_F$	$\lambda_{dB}$	$\lambda_{c}$
통계적 $\lambda$	$\lambda_F$	$\lambda_{dB}$	$\lambda_{dB}$

5. 1. 상대론적 확장

파일럿-파동 이론은 명백히 비국소적이어서 특수 상대성 이론과 표면적으로 모순된다. 이러한 문제를 해결하기 위해 "봄적" 역학의 다양한 확장들이 시도되었다. 봄 자신은 1953년에 단일 입자에 대한 디랙 방정식을 만족하는 이론의 확장을 제시했지만, 이는 절대 시간을 사용했기 때문에 다입자 경우로 확장할 수 없었다.^[17]

1990년대에는 봄 역학의 로렌츠 스칼라 로렌츠 불변 확장을 구성하는 데 대한 관심이 다시 높아졌다.^[18]^[19] Dürr et al.은 봄-디랙 모델과 시공간의 로렌츠 불변 잎상 구조를 사용한 접근 방식을 제시했다.^[20] 이들은 추가 구조를 도입하여 봄-디랙 이론에 대해 형식적으로 로렌츠 불변성을 복원하는 것이 가능하다는 것을 보였다.

하지만 이 접근 방식은 여전히 시공간의 잎상 구조를 필요로 한다. 이는 상대성 이론의 표준 해석과 모순되지만, 선호하는 잎상 구조가 관찰 불가능하다면 상대성 이론과의 경험적 모순을 초래하지 않는다. 2013년에 Dürr et al.은 필요한 잎상 구조가 파동 함수에 의해 공변적으로 결정될 수 있다고 제안했다.^[21]

비국소성과 선호하는 잎상 구조 간의 관계는 다음과 같이 이해할 수 있다. 드 브로이-봄 이론에서 비국소성은 한 입자의 속도와 가속도가 다른 모든 입자의 순간적인 위치에 의존한다는 사실로 나타난다. 반면, 상대성 이론에서는 순간성의 개념이 불변적인 의미를 갖지 않는다. 따라서 입자 궤적을 정의하려면 어떤 시공간 점을 순간적인 것으로 간주해야 하는지를 정의하는 추가 규칙이 필요하다. 이를 달성하는 가장 간단한 방법은 각 잎상 구조의 초곡면이 동일 시간의 초곡면을 정의하도록 시공간의 선호하는 잎상 구조를 수동으로 도입하는 것이다.

5. 2. 양자장 이론으로의 확장

드 브로이-봄 이론은 입자 생성 및 소멸을 다루기 위해 양자장 이론으로 확장되었다.^[39]^[40] 뒬 등은 생성 소멸 연산자를 다루는 "벨형 양자장 이론"을 설명했다. 이 이론에서 설정 공간은 입자 개수에 따라 분리된 공간들의 합으로 구성된다. 고정된 수의 입자를 가진 시스템은 결정론적으로 진화하지만, 확률 과정에 따라 입자가 생성되거나 소멸될 수 있다. 생성 사건의 분포는 다중 입자 설정 공간에서 항상 진화하는 파동 함수에 의해 결정된다.

흐르보예 니콜리치^[41]는 입자 궤적이 연속적이며 실제 생성 또는 소멸이 없어도 입자 검출기가 마치 생성 또는 소멸이 일어난 것처럼 동작하는 결정론적 드 브로이-봄 이론을 제시했다.

5. 3. 양자 궤적 방법

로버트 E. 와이어트(Robert E. Wyatt)는 2000년대 초반, 봄 "입자"를 시간과 공간에서 양자 상태의 실제 궤적을 따르는 적응형 메쉬로 사용하려는 시도를 했다. "양자 궤적" 방법에서 양자 파동 함수는 구적점 메쉬로 표본 추출된다. 그런 다음 봄 운동 방정식을 따라 구적점을 시간에 따라 진화시킨다. 각 시간 단계에서 포인트를 사용하여 파동 함수를 다시 합성하고, 양자 힘을 재계산하고, 계산을 계속한다.^[70] 이 접근 방식은 반고전 및 유사 고전 분자 역학을 계산하는 방법으로 화학 물리학 분야의 많은 연구자에 의해 채택, 확장 및 사용되었다.

에릭 R. 비트너(Eric R. Bittner) 그룹^[71]은 휴스턴 대학교(University of Houston)에서 베이지안 샘플링 기술을 사용하여 양자 밀도를 샘플링하고 구조가 없는 점의 메쉬에서 양자 포텐셜을 계산하는 이 접근 방식의 통계적 변형을 발전시켰다.

봄 접근 방식을 사용하는 데 어려움이 있는데, 주로 양자 파동 함수의 마디로 인해 양자 포텐셜에 특이점이 형성되는 것과 관련이 있다. 일반적으로 간섭 효과로 인해 마디가 형성되어 샘플 입자에 무한대의 힘을 가하여 마디에서 멀리 이동하게 하고 종종 다른 샘플 점의 경로를 교차하게 한다(이는 단일 값성을 위반한다).

봄의 해밀턴-야코비 공식과 마찬가지로 이러한 방법은 스핀의 전체 역학을 고려해야 하는 상황에는 적용되지 않는다.

드 브로이-봄 이론에서 궤적의 특성은 모얄 양자 궤적뿐만 아니라 열린 양자 시스템의 풀림에서 비롯된 양자 궤적과 크게 다르다.

5. 4. 유체역학적 양자 유사성

쿠데와 포트(2006)의 연구^[107]^[108]를 시작으로 한 양자 역학의 유체역학적 유사성에 대한 실험은, 거시적 고전 파일럿 파동이 이전에는 양자 영역에만 국한된다고 여겨졌던 특성을 나타낼 수 있음을 보여주려 했다. 유체역학적 파일럿 파동 유사성은 이중 슬릿 실험, 터널링, 양자화된 궤도 및 기타 수많은 양자 현상을 복제한다고 주장되어 파일럿 파동 이론에 대한 관심이 다시 높아졌다.^[109]^[110]^[111] 이 유사성은 ''페러데이 파''와 비교되었다.^[112]

이러한 결과에 대해 이견도 있었는데, 실험에서 이중 슬릿 실험의 측면을 재현하지 못했다는 주장이다.^[113]^[114] 터널링의 경우, 고정밀 측정 결과는 예측 불가능한 통과의 다른 기원, 즉 초기 위치 불확실성 또는 환경적 잡음보다는 장벽과의 상호 작용이 관련되어 있음을 시사한다.^[115]

표면 중력파에서도 또 다른 고전적 유사가 보고되었다.^[116]

부시(2015)의 보행 방울 시스템, 드 브로이의 이중 해 파일럿 파동 이론^[118]^[119] 및 확률적 전자기학(SED)로의 확장^[120]^[121] 간의 비교
	유체역학적 보행기	드 브로이	SED 파일럿 파동
구동	욕조 진동	내부 시계	진공 변동
스펙트럼	단색	단색	광대역
트리거	바운싱	지터베베궁	지터베베궁
트리거 주파수	$\omega_F$	$\omega_c=mc^2/\hbar$	$\omega_c=mc^2/\hbar$
에너지학	GPE $\leftrightarrow$ 파동	$mc^2\leftrightarrow\hbar\omega$	$mc^2\leftrightarrow$ EM
공명	방울-파동	위상의 조화	명시되지 않음
분산 $\omega(k)$	$\omega_F^2\approx\sigma k^3/\rho$	$\omega^2\approx\omega_c^2+c^2k^2$	$\omega=ck$
캐리어 $\lambda$	$\lambda_F$	$\lambda_{dB}$	$\lambda_{c}$
통계적 $\lambda$	$\lambda_F$	$\lambda_{dB}$	$\lambda_{dB}$

6. 한국적 관점 및 수용

(요약 및 참조할 원문 소스가 제공되지 않았고, 이전 단계에서 출력된 결과물도 없으므로, 수정할 내용이 없습니다. 따라서 아무것도 출력하지 않습니다.)

참조

_[1] 논문 A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of 'Hidden Variables' I
_[2] 논문 Dynamical origin of quantum probabilities
_[3] 논문 Observing the Average Trajectories of Single Photons in a Two-Slit Interferometer https://www.science.[...] 2011-06-03
_[4] 논문 Experiment and the foundations of quantum physics https://link.aps.org[...] 1999-03-01
_[5] 논문 How to teach quantum mechanics https://iopscience.i[...] 2004-11-01
_[6] 서적 Causality and Chance in Modern Physics Routledge & Kegan Paul and D. Van Nostrand
_[7] 문서 D. Bohm and B. Hiley: ''The undivided universe: An ontological interpretation of quantum theory'', p. 37.
_[8] 문서 H. R. Brown, C. Dewdney and G. Horton: "Bohm particles and their detection in the light of neutron interferometry", ''Foundations of Physics'', 1995, Volume 25, Number 2, pp. 329–347.
_[9] 문서 J. Anandan, "The Quantum Measurement Problem and the Possible Role of the Gravitational Field", ''Foundations of Physics'', March 1999, Volume 29, Issue 3, pp. 333–348.
_[10] 서적 The undivided universe: an ontological interpretation of quantum theory https://books.google[...] Routledge 1995
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